Från Rilpedia

Kardinalitet är ett mått på storleken av en mängd. Kardinaliteten för en mängd M är samma sak som antalet element i M. Detta skrivs ofta | M | eller | #M |. Det finns både ändliga och oändliga kardinaliteter. Till varje kardinalitet hör ett kardinaltal. Kardinaltal är mått på mängders storlek, dvs deras kardinalitet. Kardinaltalen är i sig också mängder.

Två mängder har samma kardinalitet om det finns minst en bijektion mellan dem. (Detta innebär alltså att de har samma antal element, men vitsen med att definiera denna relation i termer av bijektioner är att man även får med de oändliga mängderna.)

Den minsta kardinaliteten (kardinaltalet) är 0. Den tomma mängden har denna kardinalitet. Nästa större kardinalitet är 1 som är kardinaliteten för varje mängd med exakt ett element, och nästa kardinalitet är 2 som är kardinaliteten för varje mängd med exakt två element och så vidare. {X, Y, Z, W} har kardinaltalet 4. Varje naturligt tal n är alltså ett kardinaltal för alla mängder med n stycken element. De naturliga talen själva kan var för sig betraktas som mängder och då har de naturligtvis samma kardinaltal som sig själva: |n| = n för alla n.

För oändliga mängder räcker inte de naturliga talen till som kardinaltal på dessa. N (mängden av de naturliga talen) har kardinaltalet Alef-0, eller ℵ₀, som är det minsta oändliga kardinaltalet. Nästa större kardinalitet är ℵ₁, sedan kommer ℵ₂, ℵ₃ osv. Alla dessa kardinaltal är naturligtvis oändliga.

Det finns ingen övre gräns på hur stora kardinaltal vi kan bilda, se Cantors sats.

Se även

• Hilberts hotell.