Integralkalkyl

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Integralkalkyl är benämningen på själva uträkningen av specifika integraler. För enklare integraler kan detta ofta göras direkt med hjälp av resultaten från analysens huvudsats, medan mer komplicerade fall kan kräva partiell integrering eller Fourieranalys.

Analysens huvudsats

Huvudartikel: Analysens huvudsats

Sats: Om en funktion f är kontinuerlig på intervallet [a,b] och x är ett tal i intervallet [a,b] så är

S(x) = \int_a^x f(t)dt

en primitiv funktion till f, det vill säga funktionen S är deriverbar med S'(x) = f(x). Analysens huvudsats gör det möjligt att derivera parameterberoende integraler av formen \int_a^b f(t)dt.

Insättningsformeln

Insättningsformeln följer direkt ur analysens huvudsats, och är vad som används i all integralkalkyl.

Sats: Om en funktion f är kontinuerlig i [a,b] och F är en primitiv funktion till f så är

\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a).

Exempel: Arean under grafen till funktionen f(x) = x2 + 2x på intervallet [2,4] är

\int_2^4 {x^2+2x\,dx = \left[ {\frac{x^3}{3} + x^2 } \right]} _2^4 = \left(\frac{4^3}{3} + 4^2\right) - \left(\frac{2^3}{3} + 2^2\right) = \frac{92}{3}.

Med insättningsformeln kan även integraler på formen S(x)=\int _a ^{f(x)} g(t) dt deriveras enligt \frac{dS}{dx} (x) = \frac{d}{dx} (G(f(x))-G(a)) = g(f(x))\frac{df}{dx}(x) .

Se även

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Integralkalkyl"
Personliga verktyg