Gradient

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
Två typer av gradienter, cirkulär och linjär.

Gradient är inom matematiken en vektorvärd funktion av ett skalärfält som i kartesiska koordinater är

\ \, \nabla f = \mathrm{grad} \, f = \left(\frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z}\right)

för \mathbb{R}^3, där \nabla är nablaoperatorn, som även kan användas för andra typer av operationer inom vektoranalysen.

Mer generellt kan gradienten skrivas som en funktional: \nabla: D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R} \rightarrow D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R^N}

där D_{\mathbb R^N \rightarrow \mathbb R} betecknar mängden av alla differentierbara funktioner från \mathbb R^N till \mathbb R osv.

Gradienten \nabla f av en funktion f är sedan en vektor som pekar i den riktning som f lutar brantast i och med storlek proportionerlig mot lutningen hos f.

Exempel

Tag funktionen f(x,\,y) = \sin(2x)\cos(y). Uttryckt i kartesiska koordinater har denna gradient grad\,f = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)^T = (2\cos(2x)\cos(y), -\sin(2x)\sin(y))^T. Om vi till exempel tittar i punkten (x,\, y) = (0.4,\, -0.7) blir gradienten \nabla\, f = (1.4,\, -0.25).

Gradienter inom fysiken

Se även

Personliga verktyg