Byte av integrationsordning

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Byte av integrationsordning är en central operation vid beräkningen av multipla integraler. En fråga som ofta dyker upp är om

\iint_{X\times Y} f(x,y) \,dxdy = \int_Y\left( \int_X f(x,y) \,dx\right) dy = \int_X\left( \int_Y f(x,y) \,dy\right) dx.

X och Y är rummen som integralerna är definerade över, till exempel de reella talen.

Innehåll

Tillräckliga krav

Följande två kriterier är var för sig tillräckliga för att ovanstående likheter skall gälla:

  1. f(x,y) \ge 0 \, för alla x \in X\, och y\in Y\,.
  2. \iint_{X\times Y} |f(x,y)| \,dxdy < \infty

Ofta sker beräkningen i praktiken genom att kriterium 1 används på |f(x,y)|\, för att visa att kriterium 2 kan användas.

Exempel

Betrakta funktionen

f(x,y) = \sin(x)\sin(y) e^{-x^2-y^2} .

Denna funktion växlar tecken många gånger, så kriterium 2 måste användas för att kunna beräkna integralen av f.

Först måste det alltså verifieras att kriterium 2 går att använda. Detta görs genom att betrakta integralen av | f | . Detta är en positiv funktion och det går alltså att byta integrationsordning enligt kriterium 1:

\iint_{\mathbf{R}^2} |f(x,y)|\, dxdy = \iint_{\mathbf{R}^2} \left|\sin(x)\sin(y) e^{-x^2-y^2}\right| \,dxdy \le \iint_{\mathbf{R}^2} \left| e^{-x^2-y^2}\right| \,dxdy
= \int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-y^2}\,dx\right) dy = \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} \sqrt{\pi} dy = \pi < \infty.

Alltså är kriterium 2 uppfyllt och den ursprungliga integralen kan beräknas:

\iint_{\mathbf{R}^2} \sin(x)\sin(y) e^{-x^2-y^2} \,dxdy = \int_{-\infty}^\infty\sin(y)e^{-y^2}\left(\int_{-\infty}^\infty \sin(x)e^{-x^2}\,dx\right) dy = \int_{-\infty}^\infty\sin(y)e^{-y^2} \cdot 0 \, dy = 0.

Motexempel

Att det inte alltid går att byta ordning på integraler illustreras av följande exempel:

\int_1^{\infty} \frac {x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ dy = \left[\frac{y}{x^2+y^2}\right]_1^{\infty} = \frac{1}{1+x^2} .

och därför:

\int_1^{\infty} \left( \int_1^{\infty}\frac {x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ dy \right)\ dx = \frac{\pi}{4} \ .
\int_1^{\infty} \left( \int_1^{\infty}\frac {x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ dx \right)\ dy = -\frac{\pi}{4} \ .

Referenser

  • G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-317160-0
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Byte_av_integrationsordning"
Personliga verktyg
På andra språk