Andragradsyta

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

I matematik så är en andragradsyta, en D-dimensionell hyperyta definierad som lösningsmängden till ett kvadratiskt polynom. Med koordinater $\{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\}$ , så definieras den allmänna andragradsytan av ekvationen

$\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=0}^D P_i x_i + R = 0$

där Q är en D+1 dimensionell matris, P är en D+1 dimensionell vektor, och R en konstant. Värdena Q, P och R tas ofta som reella tal eller komplexa tal.

I normalform skrivs en tre-dimensionell (D=3) andragradsyta centrerad i origo (0,0,0) som:

$\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2}=1$

Med translationer och rotationer kan varje andragradsyta transformeras till en av flera normalformer. I det tre-dimensionella euklidiska rummet finns 16 sådana normalformer. De mest intressanta är följande:

Yta	Ekvation	Plot
Ellipsoid	$x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 \,$
Rotationsellipsoid eller sfäroid (specialfall av ellipsoid)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/b^2 = 1 \,$
Sfär (specialfall av rotationsellipsoid)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 + z^2/a^2 = 1 \,$
Elliptisk paraboloid	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z = 0 \,$
Cirkulär paraboloid (specialfall av elliptisk paraboloid)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 - z = 0 \,$
Hyperbolisk paraboloid	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z = 0 \,$
Enmantlad hyperboloid	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$
Tvåmantlad hyperboloid	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1 \,$
kon	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 0 \,$
Elliptisk cylinder	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \,$
Cirkulär cylinder (specialfall av elliptisk cylinder)	$x^2/a^2 + y^2/a^2 = 1 \,$
Hyperbolisk cylinder	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \,$
Parabolisk cylinder	$x^2 + 2y = 0 \,$

Se även

Kvadratisk form

Länkar

[1], Quadrics in Geometry Formulas and Facts av Silvio Levy, utdrag från 30:e upplagan av "CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press)".

Andragradsyta

Från Rilpedia

Se även

Länkar

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk