Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Väsentligt supremum''' och '''väsentligt infimum''' är idéer inom [[matematik]] som förenar [[supremum]] och [[infimum]] med [[måtteori]]. == Bakgrund == Skillnaden mellan vanligt supremum och väsentligt supremum är att [[nollmängd]]er inte påverkar det väsentliga supremumet. Till exempel, om funktionen <math>f : \R \rightarrow \R</math> är definierad som :<math>f(x)= \begin{cases} e^{-x^2}, & \mbox{om } x\neq 0 \\ 100,& \mbox{om } x = 0, \end{cases}</math> så är :<math>\sup f = 100</math> men för alla <math>x \neq 0\,</math> :<math>f(x) \leq 1\,</math>. Det vill säga att det finns bara ''en'' punkt där <math>f(x) >> 1\,</math>. Därför kan man säga att det är inte "resonligt" att supremumet för ''f'' är ''100''. Man får ingen informationen från talet ''100''. <math>f(x) \leq 1\,</math> ''[[nästan överallt]]'' i <math>\R</math>, så att det "väsentliga" supremumet för ''f'' borde vara ''1''. Så man definierar ''väsentliga'' supremumet för ''f'' till ''1''. På likartat sätt definieras väsentligt infimum. == Formell definition == Låt <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> vara ett [[måttrum]] och en [[mätbar funktion]] <math>f : X \rightarrow \overline{\R}</math>. '''Väsentligt supremum''' för ''f'' är det minsta reella tal ''r'' så att mängden av alla ''x'' i ''X'' som uppfyller <math> f(x) > r </math> är en nollmängd: :<math>\operatorname{ess} \sup f := \inf\{r \in \R : \mu(\{ x \in X : f(x) > r \}) = 0 \}.</math> '''Väsentligt infimum''' för ''f'' är det största reella tal ''r'' så att mängden av alla ''x'' i ''X'' som uppfyller <math> f(x) < r </math> är en nollmängd: :<math>\operatorname{ess} \inf f := \sup\{r \in \R : \mu(\{ x \in X : f(x) < r \}) = 0 \}.</math> Beteckningen "ess" kommer från engelskans "essential" ("väsentlig"). == Koppling till vanligt supremum och infimum == Detta kan jämföras med vanligt supremum och infimum. Det går att visa att [[supremum]] för mätbara funktionen <math> f: X \to \overline{\R} </math> är det minsta reella tal ''r'' så att mängden av ''x'' i ''X'' som uppfyller <math> f(x) > r \, </math> är ''[[tomma mängden|tom]]'': :<math>\sup f = \inf\{r \in \R : \{ x \in X : f(x) > r \} = \varnothing \}</math> och [[infimum]] för ''f'' är det största reella tal ''r'' så att mängden av ''x'' i ''X'' som uppfyller <math> f(x) < r \, </math> är tom: :<math>\inf f = \sup\{r \in \R : \{ x \in X : f(x) < r \} = \varnothing \}.</math> Därför :<math>\inf f \leq \operatorname{ess} \inf f \leq \operatorname{ess} \sup f \leq \sup f,\,</math> eftersom <math>\mu(\varnothing) = 0.\,</math> == Tillämpningar == Väsentligt supremum har många tillämpningar inom [[måtteori]] och [[funktionalanalys]]. === Norm === :''Huvudartikel: [[Supremumnormen]]''. Med väsentligt supremum kan man definiera en [[norm (matematik)|norm]] som kallas '''väsentlig supremumnorm'''. === <math>L^\infty\,</math>-rum === :''Huvudartikel: [[Lp-rum|L^p-rum]]''. Med väsentliga supremumnormen kan man definiera begreppet ''väsentligt begränsad funktion'', dvs rummet <math>L^\infty</math>. == Se även == *[[Måtteori]] *[[Funktionalanalys]] [[Kategori:Måtteori]] [[Kategori:Funktionalanalys]] [[de:Wesentliches Supremum]] [[en:Essential supremum and essential infimum]] [[fr:Espace L∞]] [[pt:Supremo essencial]] [[ru:Существенный супремум]] [[zh:本性上确界和本性下确界]]

Tillbaka till Väsentligt supremum och väsentligt infimum.