Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>[[Fil:Polynomialdeg2.png|miniatyr|200px|Andragradspolynom]] [[Fil:Polynomialdeg3.png|miniatyr|200px|Tredjegradspolynom]] [[Fil:Polynomialdeg4.png|miniatyr|200px|Fjärdegradspolynom]] [[Fil:Polynomialdeg5.png|miniatyr|200px|Femtegradspolynom]] Ett '''polynom''' är ett [[matematiskt uttryck]] inom vilket [[variabel|variabler]] och [[konstant]]er kombineras genom enbart [[addition]], [[subtraktion]] och [[multiplikation]]. Exempelvis är <math>x\cdot x - 4x + 5</math> ett polynom i variabeln <math>x</math> medan <math>1/x</math> inte är det. Genom att samla upprepade produkter som [[Potens (matematik)|potenser]] kan varje polynom i en variabel <math>x</math> uttryckas på standardformen :<math>\sum_{k=0}^n a_k x^k \; = \; a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math> där konstanterna <math>a_k</math> kallas ''[[koefficient]]er''. Den högsta förekommande [[exponent]]en av <math>x</math> (här lika med <math>n</math> om <math>a_n\ne 0</math>) kallas för polynomets ''grad''. Ofta talar man synonymt om polynomet <math>P</math> och den [[funktion]] som avbildar <math>x</math> på <math>P(x)</math>, polynomet utvärderat för ett givet värde. Ett polynom med två termer kallas för ett [[binom]]. == Gradtal och benämningar == Polynom av grad 0 till 5 benämns ofta enligt följande tabell: {| style="padding: 1em; border:1px solid #bbbbbb; border-collapse:collapse" border=1 cellpadding="6" !Grad||Benämning||Funktion||Form |- |0||Nolltegradspolynom (konstant polynom)||[[Konstant funktion]]||<math>a</math> |- |1||Förstagradspolynom (linjärt polynom)||[[Affin funktion]]/[[Linjär funktion]]||<math>ax + b</math> |- |2||Andragradspolynom (kvadratiskt polynom)||[[Kvadratisk funktion]]||<math>ax^2 + bx + c</math> |- |3||Tredjegradspolynom (kubiskt polynom)||[[Kubisk funktion]]||<math>ax^3 + bx^2 + cx + d</math> |- |4||Fjärdegradspolynom (kvartiskt polynom)||[[Kvartisk funktion]]||<math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> |- |5||Femtegradspolynom (kvintiskt polynom)||[[Kvintisk funktion]]||<math>ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f</math> |} Dock finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, ska definieras. Vissa författare föredrar att definiera graden av detta till −1, andra definierar det som −∞; ytterligare andra låter det vara odefinierat. == Elementära egenskaper == Polynom är de enklaste [[elementära funktioner]]na. Summor och produkter av polynom är polynom, och även [[derivator]] och [[integral]]er av polynom är polynom. == Nollställen == En '''rot''' eller ett '''nollställe''' är ett tal <math>r</math> sådan att <math>p(r) = 0</math>. Att hitta rötter till en ekvation, eller att ''lösa en algebraisk ekvation'', är ett av matematikens äldsta problem. En del polynom, som exempelvis <math>p(x) = x^2+ 1</math>, har ingen reell rot. Men genom att utvidga mängden av möjliga nollställen till de komplexa talen, uppnår man att det alltid finns rötter till ett (icke konstant) polynom (se [[Algebrans fundamentalsats]]). Ett konjugat till en imaginär rot är alltid också en rot till ekvationen, förutsatt att alla koefficienter är reella. Det är intressant att notera, att det är försök att lösa ekvationer som bidragit starkt till att införa de olika utvidgningarna av de naturliga talen: för att lösa till exempel <math>x+2=0</math> behövs [[negativa tal]], för att lösa <math>3x=5</math> krävs [[rationella tal]] (bråk), <math>x^2-2=0</math> behöver [[irrationella tal]] (vilket Pythogaras med lärjungar lär ha tyckt sämre om enligt en populär historia), och så slutligen behövs de [[komplexa tal]]en för att lösa <math>x^2+2=0</math>. Ett polynom med grad större eller lika med fem har ingen generell kompletteringsformel (jfr [[kvadratkomplettera]]). Det betyder att en polynomekvation av grad större eller lika med fem måste ofta lösas numeriskt. Ett flertal [[numeriska metoder]] för beräkning av nollställen till polynom är kända. Generellt tillämpbara metoder är exempelvis [[Newtons metod]], [[Laguerres metod]], och [[Durand-Kerners metod]]. Dessvärre kan numerisk rotberäkning för polynom vara ett [[illakonditionerat]] problem, och avancerade metoder kan därför krävas för att hantera polynom med högt gradtal. Om x = a är ett nollställe till polynomet f(x) innebär detta enligt ''faktorsatsen'' att x − a är en delare, och endast då, i polynomet f(x). == Polynomvärde == För att beräkna ett polynomvärde i en viss punkt <math>x</math> så evaluerar man inte hela uttrycket. Istället använder man sig utav det mer effektiva [[Horners algoritm]]. Om man skall beräkna polynomvärden för flera likaseparerade punkter så är [[Newtons differensschema]] ännu effektivare. == Flervariabelpolynom == I flervariabelanalys är polynomen uttryckta i flera variabler. Man säger att '''totala graden''' är summan av variablernas maximala potenser i en term. För : <math>p(x, y, z) = 2x^2yz^3 - 3y^2 + 5yz - 2</math> är den totala graden <math>2 + 1 + 3 = 6</math>. == Se även == *[[Chebyshevpolynom]] *[[Ehrhartpolynom]] *[[Hermitska polynom]] *[[Hurwitz polynom]] *[[Legendrepolynom]] *[[Polynominterpolation]] == Externa länkar == {{wiktionarypar|polynom}} [[Kategori:Polynom| ]] [[af:Polinoom]] [[ar:كثيرة الحدود]] [[bg:Многочлен]] [[bn:বহুপদী (গণিত)]] [[bs:Polinom]] [[ca:Polinomi]] [[cs:Polynom]] [[cv:Полином]] [[cy:Polynomial]] [[da:Polynomium]] [[de:Polynom]] [[el:Πολυώνυμο]] [[en:Polynomial]] [[eo:Polinomo]] [[es:Polinomio]] [[eu:Polinomio]] [[fa:چندجمله‌ای]] [[fi:Polynomi]] [[fr:Polynôme]] [[fy:Mearterm]] [[gl:Polinomio]] [[he:פולינום]] [[hu:Polinom]] [[is:Margliða]] [[it:Polinomio]] [[ja:多項式]] [[ko:다항식]] [[lt:Polinomas]] [[lv:Polinoms]] [[ml:ബഹുപദം]] [[nl:Polynoom]] [[no:Polynom]] [[pl:Wielomian]] [[pt:Polinómio]] [[ro:Polinom]] [[ru:Многочлен]] [[simple:Polynomial]] [[sk:Mnohočlen]] [[sl:Polinom]] [[sr:Полином]] [[th:พหุนาม]] [[tr:Polinom]] [[uk:Многочлен]] [[ur:کثیر رقمی]] [[vi:Đa thức]] [[yi:פאלינאם]] [[zh:多項式]] [[zh-yue:多項式]]

Tillbaka till Polynom.